Reguła de l'Hospitala Regułę de l'Hospitala stosujemy do obliczania granic funkcji, w przypadku występowania w wyniku obliczanej granicy funkcji, symboli nieoznaczonych lub Mówi ona, że: jeśli mamy funkcje: f(x) oraz g(x) i są one określone ( istnieją ) w otoczeniu pewnego punktu a, oraz jeżeli: lub
Punkt a może być konkretna liczbą, albo +∞ lub -∞. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- Co reguła de l'Hospitala tak naprawdę mówi ? Mówi, że jeżeli obliczamy granicę funkcji i otrzymujemy w wyniku symbol nieoznaczonym lub , to granica tej funkcji jest równa granicy ich pochodnych ( o ile one istnieją ) Jeżeli obliczona granica jest postaci 0 · ∞, ∞ - ∞, 00, ∞0, 1∞ , to w łatwy sposób możemy ją przekształcić do postaci lub . Jak to się robi ? Nieoznaczoność typu 0 · ∞ przekształcamy do postaci lub .
za pomocą tożsamości: f(x)*g(x) =
Nieoznaczoność typu ∞ - ∞ przekształcamy do postaci . za pomocą tożsamości: f(x) - g(x) = Nieoznaczoność typu 00, ∞0, 1∞ przekształcamy do postaci lub za pomocą tożsamości: (f(x))g(x) = eg(x)lnf(x) , gdzie (f(x) > 0) ponieważ a następnie przy obliczaniu granicy, jeżeli zajdzie potrzeba korzystamy z dwóch poprzednich tożsamości.
|
Wyjaśnijmy sobie tą regułę dokładniej na przykładach. Przykład 1. Oblicz granicę funkcji . Dla x = 0 otrzymujemy wynik . Jest to symbol nieoznaczony. Zgodnie z regułą de l'Hospitala policzmy pochodne licznika oraz mianownika Pochodna sin(x)' = cos(x), a pochodna x' = 1 Otrzymujemy więc, = 1, ponieważ cos(0) = 1, a więc i granica funkcji = 1. Odp: Granica funkcji = 1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Przykład 2. Oblicz granicę funkcji Dla x = -1 otrzymujemy wynik . Jest to symbol nieoznaczony. Zgodnie z regułą de l'Hospitala policzmy pochodne licznika oraz mianownika Pochodna (- 1)' = 2x, a pochodna (x+1)' = 1. Otrzymujemy więc, = -2, a więc i granica funkcji = -2 Odp: Granica funkcji = -2 |
Podsumowanie Reguła de l'Hospitala jest w wielu przypadkach obliczania granic bardzo pomocna. W ogromnej mierze upraszcza nam wyznaczenie granicy funkcji przy nieoznaczoności typu postaci lub . Zdarza się, że obliczamy granicę funkcji naprawdę złożonych, które podpadają pod omawianą regułę. Przekształcanie ich do prostszych czasami pomaga, ale w wielu przypadkach niewiele nam daje. W dalszych przykładach, które znajdziesz pod adresem ( reguła de l'Hospitala - przykłady ) przekonasz się jak bardzo jest ona pomocna.
|