Pokaż/Ukryj Przykład

Dziedziną każdej funkcji wielomianowej ( w szczególności liniowej ) jest zbiór licz rzeczywistych,                         tak więc : x.

Uzasadnijmy to jeszcze inaczej:

Podstawiając do wzoru funkcji dowolną liczbę ze zbioru liczb rzeczywistych ( x ), otrzymamy zawsze jakąś wartość, więc : x.      

Wyznaczmy teraz przeciwdziedzinę funkcji ZW (Y).

Ponieważ jest to funkcja liniowa, to przeciwdziedziną jest również zbiór liczb rzeczywistych  ZW: y .

zobacz wykres funkcji y = 2x + 1

Pokaż/Ukryj Przykład

Jest to funkcja wymierna ( homograficzna ), postaci  .  

Przypomnijmy, że wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola mająca asymptotę pionową daną równaniem     x= oraz asymptotę poziomą daną równaniem y=.                                                                                          Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór x \ {}.                                                                                Zapiszmy więc dziedzinę:  : x ( - , 1 ) ( 1 , )   albo w równoważny zapis  : x \ { 1 }.

Dziedzinę tej funkcji możemy wyznaczać również w sposób tradycyjny, tzn. wyznaczyć zbiór argumentów dla których funkcja jest nieokreślona i wyłączyć ten zbiór z dziedziny funkcji. 

Popatrzmy na mianownik funkcji. Występuje tam wyrażenie x - 1.                                                                    Wiemy, że mianownik zawsze musi być różny od zera, więc   x - 1 0    x 1

Dziedziną funkcji jest:  : x ( - , 1 ) ( 1 , )   albo w równoważny zapis     : x \ { 1 }.

Wykres nr 2

Wyznaczamy przeciwdziedzinę funkcji. Popatrzymy na wykres nr 2.

Widzimy, że funkcji przybiera wartości od - do 2 i od 2 +. W x = 2 ( asymptota pozioma ) funkcja jest nieokreślona

Przeciwdziedziną będzie więc zbiór:  ZW: y( -, 2 ) ( 2 , ) lub krótko ZW: y \ { 2} 

Pokaż/Ukryj Przykład

Jest to funkcja potęgowa o równaniu y = , dla której n jest liczbą całkowitą ujemną  n = ^_1.                  Wykresem funkcji y = y = jest hiperbola patrz rysunek nr 3.                                                  Dziedzina funkcji potęgowej zależy od wykładnika n. Jeśli n jest liczbą całkowitą ujemną, to D: x \ { 0}.

Jest to również funkcja wymierna ( homograficzna ), postaci    dla której a= 0, d = 0, b = 1  i  c = 1 .   Kiedy a = 0  i  d = 0, wówczas jej asymptotami są osie układu współrzędnych - Wykres nr 3.

Mianownik funkcji musi być różny od zera, co zapisujemy  x  0.

Dziedzina funkcji:  : y ( - , 0 ) ( 0 , )   albo równoważny zapis  : y \ { 0}.

Wykres nr 3

Wyznaczamy przeciwdziedzinę funkcji. Popatrzymy na wykres nr 3.

Widzimy, że funkcji przybiera wartości od - do 0 i od 0 +. Dla x = 0 ( asymptota pozioma ) funkcja jest nieokreślona

Przeciwdziedziną będzie więc zbiór:   ZW: y( -, 0 ) ( 0 , )

      lub krótko ZW: y \ { 0} 

Pokaż/Ukryj Przykład

Sinus jest to funkcja trygonometryczna, okresowa ( o okresie 2 ),  patrz wykres nr 4.

Dziedziną funkcji sin(x) jest zbiór liczb rzeczywistych - : x

Wykres nr 4

Zbiorem wartości - przeciwdziedziną jest zbiór  ZW: y < -1 , 1 >

Pokaż/Ukryj Przykład

Tangens jest to funkcja trygonometryczna, okresowa ( o okresie ),  patrz wykres nr 5.

Dziedziną funkcji tg(x) jest zbiór liczb rzeczywistych minus  wielokrotność kąta .

: x \

Wykres nr 5

Zbiorem wartości - przeciwdziedziną jest zbiór licz rzeczywistych,  ZW: y

Pokaż/Ukryj Przykład

Funkcja y=  jest funkcją wykładniczą o podstawie a = 2. Patrz wykres funkcji y= 

Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych - : x 

Zbiorem wartości - przeciwdziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich,  ZW: y⁺                        Patrz wykres funkcji y= 

Pokaż/Ukryj Przykład

Popatrzmy na mianownik tej funkcji. Występuje tam równanie  x² - 4. Wiemy, że mianownik nie może być zerem, więc musimy wyznaczyć te argumenty {x}, dla których mianownik przyjmuje wartość zero i usunąć ich z dziedziny funkcji.

Mamy więc      x² - 4 = 0    x = 2   lub   x = -2

Tak, więc dziedzinę funkcji zapiszemy następująco:  : x ( - , -2 ) ( -2 , 2 ) ( 2 , )

  albo w równoważny sposób     : x \ {-2 , 2}.  

Wykres nr 7

Jak wygląda sprawa z przeciwdziedziną funkcji ( zbiorem wartości ) ?

Można korzystać z rachunku różniczkowego i pomóc sobie w tej kwestii.
My oprzemy się na wykresie funkcji - Wykres nr 7.

Widzimy, że funkcji przybiera wartości od - do -0.5 i od powyżej zera do +.
( y = 0 jest asymptotą tej funkcji )

Przeciwdziedziną będzie więc zbiór:    ZW: y( -, -0.5 > ( 0 , )