Reguła de l'Hospitala

Regułę de l'Hospitala stosujemy do obliczania granic funkcji, w przypadku występowania w wyniku obliczanej granicy funkcji, symboli nieoznaczonych  lub

Mówi ona, że:

jeśli mamy funkcje: f(x) oraz g(x) i są one określone ( istnieją ) w otoczeniu pewnego punktu a,

oraz jeżeli:
    

lub

oraz istnieją skończone pochodne funkcji  f '(x) i g '(x), to:

  = K

 Punkt a może być konkretna liczbą, albo +∞ lub -∞.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Co reguła de l'Hospitala tak naprawdę mówi ?

Mówi, że jeżeli obliczamy granicę funkcji i otrzymujemy w wyniku symbol nieoznaczonym lub ,  to granica tej funkcji jest równa granicy ich pochodnych ( o ile one istnieją )

Jeżeli obliczona granica jest postaci   0 · ∞,  ∞ - ∞,   0⁰,   ∞⁰, 1^∞  , to w łatwy sposób możemy ją przekształcić do postaci  lub    .  

Jak to się robi ?

Nieoznaczoność typu  0 · ∞  przekształcamy do postaci  lub  .

za pomocą tożsamości:     f(x)*g(x) =

Nieoznaczoność typu  ∞ - ∞ przekształcamy do postaci  .

za pomocą tożsamości:  f(x) - g(x) =      

Nieoznaczoność typu  0⁰, ∞⁰, 1^∞ przekształcamy do postaci  lub 

za pomocą tożsamości:  (f(x))^g(x) = e^g(x)lnf(x) ,  gdzie   (f(x) > 0)

ponieważ

a następnie przy obliczaniu granicy, jeżeli zajdzie potrzeba korzystamy z dwóch poprzednich tożsamości.

Wyjaśnijmy sobie tą regułę dokładniej na przykładach.

Przykład 1.

Oblicz granicę funkcji .

Dla x = 0 otrzymujemy wynik . Jest to symbol nieoznaczony.

Zgodnie z regułą de l'Hospitala policzmy pochodne licznika oraz mianownika

Pochodna sin(x)' = cos(x), a pochodna x' = 1

Otrzymujemy więc, = 1, ponieważ cos(0) = 1, a więc i granica funkcji = 1.

Odp: Granica funkcji   = 1

 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Przykład 2.

Oblicz granicę funkcji

Dla x = -1 otrzymujemy wynik . Jest to symbol nieoznaczony.

Zgodnie z regułą de l'Hospitala policzmy pochodne licznika oraz mianownika

Pochodna (- 1)'  = 2x, a pochodna (x+1)' = 1.

Otrzymujemy więc,   = -2,  a więc i granica funkcji = -2

Odp: Granica funkcji = -2

Podsumowanie

Reguła de l'Hospitala jest w wielu przypadkach obliczania granic bardzo pomocna.

W ogromnej mierze upraszcza nam wyznaczenie granicy funkcji przy nieoznaczoności typu postaci  lub  .

Zdarza się, że obliczamy granicę funkcji naprawdę złożonych, które podpadają pod omawianą regułę. Przekształcanie ich do prostszych czasami pomaga, ale w wielu przypadkach niewiele nam daje.

W dalszych przykładach, które znajdziesz pod adresem ( reguła de l'Hospitala - przykłady ) przekonasz się jak bardzo jest ona pomocna.