Reguła de l'Hospitala Regułę de l'Hospitala stosujemy do obliczania granic funkcji, w przypadku występowania w wyniku obliczanej granicy funkcji, symboli nieoznaczonych Mówi ona, że: jeśli mamy funkcje: f(x) oraz g(x) i są one określone ( istnieją ) w otoczeniu pewnego punktu a, oraz jeżeli: lub
Punkt a może być konkretna liczbą, albo +∞ lub -∞. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- Co reguła de l'Hospitala tak naprawdę mówi ? Mówi, że jeżeli obliczamy granicę funkcji i otrzymujemy w wyniku symbol nieoznaczonym Jeżeli obliczona granica jest postaci 0 · ∞, ∞ - ∞, 00, ∞0, 1∞ , to w łatwy sposób możemy ją przekształcić do postaci Jak to się robi ? Nieoznaczoność typu 0 · ∞ przekształcamy do postaci
za pomocą tożsamości: f(x)*g(x) =
Nieoznaczoność typu ∞ - ∞ przekształcamy do postaci za pomocą tożsamości: f(x) - g(x) = Nieoznaczoność typu 00, ∞0, 1∞ przekształcamy do postaci za pomocą tożsamości: (f(x))g(x) = eg(x)lnf(x) , gdzie (f(x) > 0) ponieważ a następnie przy obliczaniu granicy, jeżeli zajdzie potrzeba korzystamy z dwóch poprzednich tożsamości.
|
Wyjaśnijmy sobie tą regułę dokładniej na przykładach. Przykład 1. Oblicz granicę funkcji Dla x = 0 otrzymujemy wynik Zgodnie z regułą de l'Hospitala policzmy pochodne licznika oraz mianownika Pochodna sin(x)' = cos(x), a pochodna x' = 1 Otrzymujemy więc, Odp: Granica funkcji ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Przykład 2. Oblicz granicę funkcji Dla x = -1 otrzymujemy wynik Zgodnie z regułą de l'Hospitala policzmy pochodne licznika oraz mianownika Pochodna ( Otrzymujemy więc, Odp: Granica funkcji |
Podsumowanie Reguła de l'Hospitala jest w wielu przypadkach obliczania granic bardzo pomocna. W ogromnej mierze upraszcza nam wyznaczenie granicy funkcji przy nieoznaczoności typu postaci Zdarza się, że obliczamy granicę funkcji naprawdę złożonych, które podpadają pod omawianą regułę. Przekształcanie ich do prostszych czasami pomaga, ale w wielu przypadkach niewiele nam daje. W dalszych przykładach, które znajdziesz pod adresem ( reguła de l'Hospitala - przykłady ) przekonasz się jak bardzo jest ona pomocna.
|