Funkcja

 

Pojęcie funkcji - definicja - przykłady 

Pojęcie funkcji spotykamy w matematyce na każdym kroku.
Warto go dobrze poznać i zrozumieć, ponieważ mamy z nim do czynienia na wszystkich przedmiotach, ale     i nie tylko tam.

Z funkcjami spotykamy się bardzo często w codziennym życiu.

  • Meteorologia - prognozowanie pogody
  • Geodezja - pomiary geodezyjne w celu wytyczenia trasy drogi, miejsca pod budynek, położenia działki i itd. 
  • Ekonomia - badanie i analizowanie trendów i praw ekonomicznych dokonujących się i działający        w otaczającym nas świecie. 
  • Bankowość - wyznaczanie i analizowanie wysokości i ilości rat kredytów, wysokości oprocentowania kont, itp.
  • Administracja - przyporządkowanie osób do nr Pesel lub nr Dow. Osobistych, obliczanie podatków, ...
  • Budownictwo -Projektowanie budynków, dróg, mostów, obliczanie parametrów wytrzymałościowych  projektowanych konstrukcji, analizowanie żywotności konstrukcji.
  • Przemysł - symulacje, sterowanie, wizualizacja, optymalizacja produktów przemysłowych
  • Medycyna i Biologia - analizowanie, modelowanie  i opisywanie funkcjonowania poszczególnych organizmów.
  • Sport - badanie i optymalizowanie wydolności sportowców, optymalizowanie wykonywania przez nich działań ( treningowych, konkursowych ). Projektowanie obiektów sportowych np: wyznaczanie nachylenia tras narciarskich ( biegowych, zjazdowych ), skoczni narciarskich, stromości podjazdów kolarskich itp.
  • Nauka - Matematyka, Fizyka, Chemia,Biologia, Astronomia, Informatyka, Geografia - funkcja liniowa występuje w nich niemal na każdym kroku.

To tylko niektóre zastosowania funkcji.

Dzięki funkcjom możemy opisywać otaczającą nas rzeczywistość, badać i kontrolować różne zjawiska w niej zachodzące.

 

Definicja funkcji

Zanim zdefiniujemy funkcję, wprowadźmy dwa ważne zbiory, które są nierozerwalnie z nią związane,                    a mianowicie:

  • zbiór argumentów {x}, który w układzie współrzędnym kartezjańskim przypisujemy do osi OX                     - Dziedzina funkcji
  • zbiór wartości funkcji {y}, który w tymże układzie przypisujemy do osi OY                                                   - Przeciwdziedzina funkcji.

 

Funkcję definiujemy najczęściej w następujący sposób:

Jest to przekształcenie ( przyporządkowanie, odwzorowanie ), które każdemu elementowi jednego
zbioru ( argumentów ), przyporządkowuje co najwyżej jeden element drugiego zbioru ( wartości ).

Funkcję zapisujemy jako przekształcenie  

f: X --> Y

 lub po prostu

y = [wzór funkcji]  albo   f(x) = [wzór funkcji]
 
Uwaga:" Co najwyżej jeden" w definicji funkcji oznacza, nie więcej niż jeden. Czytając różne definicje funkcji napotkamy tam na zwrot "dokładnie jeden", dobrze jest jednak pamiętać, że jakimś argumentom mogą             nie zostać przyporządkowane żadne wartości i z tego powodu lepiej jest używać zwrotu  "co najwyżej jeden". 
 

 

 Przykłady funkcji:

Przykład 1.   y = x   albo równoważnie   f(x) = x

Pokaż/Ukryj przykład

Pokaż/Ukryj przykład

Zapis ten oznacza, że zbiór argumentów {x} jest przekształcany w zbiór wartości {y} za pomocą
przekształcenia ( wzoru funkcji ) = x

 

Funkcję można przedstawiać za pomocą:

I. Grafu.

 

 

II. Tabeli, w której

1-szy wiersz to zbiór argumentów funkcji {x}
2-gi wiersz to zbiór wartości funkcji {y}

X

-6

-4

-1

0

2

4

6

Y

-3

-2

-0,5

0

1

2

3

 

III. Wykresu funkcji    -   ( korzystaj z aplikacji do rysowania wykresów funkcji )

 

 

W przykładzie tym widzimy, że funkcja dla wszystkich argumentów, z dziedziny funkcji, przyjmuje różne wartości
np:  f(-6) = -3, f(6) = 3

Taką funkcję będziemy nazywać różnowartościową. Będzie o niej mowa w kolejnych tematach poświęconych zagadnieniu funkcji.

 

Przykład 2.   y =   albo równoważnie 

Pokaż/Ukryj przykład

Pokaż/Ukryj przykład

zapis ten oznacza, że zbiór argumentów {x} jest przekształcany w zbiór wartości {y} za pomocą
przekształcenia ( wzoru funkcji )  =

Funkcję można przedstawiać za pomocą:

I. Grafu.

 

 

II. Tabeli, w której

1-szy wiersz to zbiór argumentów funkcji {x}
2-gi wiersz to zbiór wartości funkcji {y}

X

-6

-4

-1

0

2

4

6

Y

32

12

-3

-4

0

12

32

 

III. Wykresu funkcji   -  ( korzystaj z aplikacji do rysowania wykresów funkcji )

 

 

 

 W przykładzie tym widzimy, że funkcja dla różnych argumentów przyjmuje takie same wartości  np:  f(-6) = f(6) = 32  lub  f(-4) = f(4) = 12

Z tego powodu powiemy, że funkcja ta nie jest różnowartościowa.

Przykłady równań które nie są funkcjami:

Przykład 3. Równanie okręgu

Pokaż/Ukryj przykład

Pokaż/Ukryj przykład

Dlaczego równanie okręgu nie jest funkcją?

Nie jest funkcją, ponieważ dla jednego argument x otrzymujemy dwie różne wartości y, co jest sprzeczne z definicją funkcji.  

Sprawdźmy to:

Wyznaczmy zmienną y,  która reprezentuje zbiór wartości równania.

Zapiszmy nasze równanie okręgu.

Mamy więc

 

Otrzymaliśmy w ten sposób z równania okręgu dwa równania, które są funkcjami, a więc dla jednego argument x z dziedziny funkcji, otrzymamy zawsze dwie różne wartości ( poza krańcami dziedziny ).  

 

Poniższy wykres ilustruje tę sytuację.

 

 

 

 

Przykład 4. Równanie prostej x = a

 

Pokaż/Ukryj przykład

Pokaż/Ukryj przykład

Dowolne równanie prostej postaci x = stała ( x = -2, x= 0, x = 3 ) nie jest funkcją

Dlaczego równanie x = a nie jest funkcją?

Nie jest funkcją, ponieważ dla jednego argument x = a, otrzymujemy nieskończenie wiele różnych wartości y, co jest sprzeczne z definicją funkcji.  

Sprawdźmy to na wykresie:

 Wykresy równań prostych  x = -2, x=3, x=6

 

Widzimy wyraźnie, że np: dla x = -2 wartości jest nieskończenie wiele

Tak samo jest dla pozostałych równań

Większość tzw. "krzywych stożkowych" - elipsa, niektóre hiperbole, parabole, omówiony powyżej okrąg nie są funkcjami, np. parabola o równaniu x = y2- 4y + 4, czy elipsa  x 2  + 2y2 - 4 = 0.

 

Intuicyjna interpretacja definicji funkcji

Dotychczas rozpatrywaliśmy równania na gruncie definicji funkcji i rozstrzygaliśmy, kiedy równanie jest,       a kiedy nie jest funkcją

Spróbujmy zapomnieć na chwilę o definicji funkcji i oprzeć si

ę na własnej intuicji.

Wyobraźmy sobie, że przesuwamy grzebień z góry na dół układu współrzędnych. Poszczególne kolce grzebienia przecinają wykres równania.

 

 

 

Równanie jest funkcją, kiedy każdy z kolców grzebienia, przetnie wykres co najwyżej jeden raz.           Traktując kolce grzebienia jak argumenty funkcji, powiemy, że każdy argument ma co najwyżej jedną wartość.

Jeżeli choćby jeden kolec przeciął wykres równania w więcej niż jednym punkcie, to równanie tego wykresu nie będzie funkcją.

  Podsumowanie

Poznaliśmy już pojęcie funkcji, jej definicję na bazie której rozstrzygaliśmy, kiedy równanie jest, a kiedy nie jest funkcją.

Funkcje mają wiele właściwości ( dziedzinę, monotoniczność, ciągłość, różnowartościowość, okresowość      i inne ). Będziemy je badać i omawiać w kolejnych tematach poświęconym różnym rodzajom funkcji ( liniowej, kwadratowej, wielomianowej, wymiernej, ...).