Zanim zaczniesz przyswajać sobie wiadomości odnośnie funkcji wielomianowej - wymiernej, powinieneś znać pojęcia związane z samą funkcją. Możesz się bliżej z nimi zapoznać - patrz tutaj .
|
Definicja funkcji wymiernej
Definicja funkcji wielomianowej - definicja wielomianu
Właściwości wielomianów
|
0 - jest różny od wielomianu zerowego.
\ {x: P(x) = 0}
0.
.
0 - nie jest wielomianem zerowym
gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x.
, to licznik tego pierwiastka (p) jest podzielnikiem wyrazu wolnego - a0, zaś mianownik (q) jest podzielnikiem wyrazu an.
Przykłady
|
Przykład 1. Znajdź liczby a i b, dla których wielomiany W(x) i P(x) są równe, jeśli W(x) = (x2 - ax)2 - (x2+ bx)2 , P(x) = -2x3 - 3x2
Pokaż/Ukryj Przykład1. Porządkujemy wielomian W(x) wykonując niezbędne operacje. (x2 - ax)2 = x4 - 2ax3 + a2x2 , (x2+ bx)2 = x4 + 2bx3 + b2x2 W(x) = x4 - 2ax3 + a2x2 - (x4 + 2bx3 + b2x2 ) = -2ax3 + a2x2 - 2bx3 - b2x2 = - x3(2a + 2b) + x2(a2- b2) . 2. Wykorzystując Tw. 1 dokonujemy sprawdzeń odpowiednich współczynników wielomianów W(x) i P(x). W(x) = P(x)
Z pierwszego równania wyznaczmy a = 1 - b i wstawmy do drugiego (1 - b)2 - b2 = -3 podstawiając b=2 do równania a = 1 - b otrzymujemy, że a = -1 Odp: Szukane liczby dla których wielomiany są równe, to a= -1 i b = 2
|
b = 2
|
Przykład 2. Rozłóż wielomian na czynniki, jeśli W(x) = x3 + 5x2 + 3x - 9
Rozkład wielomianu na czynniki wykonujemy na podstawie Tw. 5 I Sposób: Zapiszmy nasz wielomian w postaci W(x) = x3 + (6x2 - x2 ) + (9x - 6x) - 9 Możemy teraz pogrupować wielomian W(x) = x3 - x2 + 6x2 - 6x + 9x - 9 = x2(x - 1) + 6x(x - 1) + 9(x-1) Wyciągając przed nawias x - 1 mamy: W(x) = (x - 1)(x2 + 6x + 9) Pozostaje nam rozłożyć na czynniki równanie kwadratowe x2 + 6x + 9, a to już jest prosta sprawa. Nie musimy nawet liczyć współczynnika Odp: Ostatecznie W(x) = (x - 1)(x + 3)2 II Sposób: Korzystając z Tw. 6 łatwo znajdujemy, że x = 1 jest pierwiastkiem naszego wielomianu. Na podstawie Tw. 3 nasz wielomian W(x) = x3 + 5x2 + 3x - 9 dzieli się bez reszty przez dwumian (x - 1). Podzielmy więc W(x) przez (x - 1) ( x3 + 5x2 + 3x - 9 ) : ( x - 1) = x2 + 6x + 9 Mamy więc, W(x) = x3 + 5x2 + 3x - 9 = ( x - 1)( x2 + 6x + 9) = (x - 1)(x + 3)2 Odp: Ostatecznie W(x) = (x - 1)(x + 3)2 |
, ponieważ zauważamy, że x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
|
Przykład 3. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) = 2x3 - 3x2 - 2x + 4 przez dwumian (x - 3)
Formalnie zapiszemy to, że W(x) = Q(x)*(x - 3) + R(x) Obliczamy W(3) = 2*27 - 3*9 - 2*3 + 4 = 54 - 27 - 6 + 4 = 25 Odp: Reszta z dzielenia wielomianu W(x) = 2x3 - 3x2 - 2x + 4 przez dwumian (x - 3) jest równa 25 |
|
Przykład 4. Dla jakich wartości parametru m reszta z dzielenia wielomianu W(x) = 3x3 + mx2 - 4x + 2 przez dwumian x - 2 jest równa 6.
I Sposób: Korzystając z Tw. 2 mamy W(2) = reszta z dzielenia W(x) : (x - 2) , więc W(2)= 6 Formalny zapis: W(x) = Q(x)*(x - 2) + R(x) Wyznaczmy resztę W(2) = 3*8 + 4m - 8 + 2 = 4m +18. 4m + 18 = 6 Odp: Reszta z dzielenia wielomianu W(x) = 3x3 + mx2 - 4x + 2 przez dwumian x - 2 jest równa 6 dla m= -3 II Sposób: Podzielmy więc W(x) przez (x - 2) ( 3x3 + mx2 - 4x + 2 ) : ( x - 2) = 3x2 + x(6 + m) + (2m + 8) Widzimy, że reszta z dzielenia = 4m + 18 i jak treść zadania mówi jest reszta ta jest równa 6. Zapiszmy to, 4m + 18 = 6 Odp: Reszta z dzielenia wielomianu W(x) = 3x3 + mx2 - 4x + 2 przez dwumian x - 2 jest równa 6 dla m= -3 |
Więcej przykładów dotyczących funkcji wymiernej znajdziesz: Funkcja wymierna - przykłady